시그마 k=1부터 n까지 k 의 공식과 증명

$${\sum _{k=0}^{n}{k}}={\sum _{k=1}^{n}{k}}=1+2+\cdots +(n-1)+n$$

우변을 A라 하고 A를 거꾸로 나열한 식을 A' 이라 할때, 처음의 식(A)과 거꾸로 나열한 식(A')을 더해주면(A+A') 다음과 같다. 여기서 A'은 A를 거꾸로 나열한 것이기 때문에, 덧셈의 교환법칙에 의해 A'=A 이다.

$$\begin{array}  & 1+2+\cdots +(n-1)+n \\ + & n+(n-1)+\cdots +2+1 \\ \hline & (n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1) \end{array}$$

위 결과와 같이 A+A'=n(n+1) 이다. 덧셈의 교환법칙에 의해 A'=A 이기 때문에 정리하면 다음과 같다.
$$2A=n(n+1)$$
$$A=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

따라서 시그마 k=1부터 n까지 k 의 결과는 다음과 같다.
$${\sum _{k=1}^{n}{k}}=\frac { n(n+1) }{ 2 }$$

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