\[y=a{ \left( x+\frac { b }{ 2a } \right) }^{ 2 }-\frac { { b }^{ 2 } }{ 4a } +c\]
예를 들어, \(y=3{ x }^{ 2 }+6x+7\) 는 이차항의 계수가 0보다 크므로 아래로 볼록한 모양이고, 표준형으로 만든 식의 상수항, 즉 4가 최소값이라는 것을 확인할 수 있다.
\[\begin{eqnarray} y & = & 3{ \left( x+\frac { 6 }{ 2\cdot 3 } \right) }^{ 2 }-\frac { { 6 }^{ 2 } }{ 4\cdot 3 } +7 \\ & = & 3{ (x+1) }^{ 2 }+4 \end{eqnarray}\]
완전제곱식을 0으로 만드는 x의 값이 최대, 최소값의 x좌표, 상수항이 y좌표이다. 위 식에서 최소 값의 좌표는 (-1,4) 이다. 즉, 이차함수의 표준형이 다음과 같을 때, 이차함수의 꼭짓점은 (p, q) 이다.
\[y=a{ \left( x-p \right) }^{ 2 }+q\]
이차함수의 범위가 주어진 경우 이차함수의 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 풀 수 있다.
이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되고, a>0 인 경우 표준형의 상수항이 최소값, 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 큰 값이 최대값이다.
예를 들어, \(y={ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -3<x<1 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=-2 일 때, 즉 -2 이고, 최대값은 x=0 일 때, 즉 2 이다.
\[y={ (x+2) }^{ 2 }-2\]
이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되고, a<0 인 경우 표준형의 상수항이 최대값, 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 작은 값이 최소값이다.
예를 들어, \(y=-{ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -2<x<4 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=-1 일 때, 즉 -3 이고, 최대값은 x=2 일 때, 즉 6 이다.
\[y={ -(x-2) }^{ 2 }+6\]
이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되지 않는 경우 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 작은 값이 최소값, 가장 큰 값이 최대값이다.
예를 들어, \(y={ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -1<x<4 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=0 일 때, 즉 2 이고, 최대값은 x=3 일 때, 즉 23 이다.
\[y={ (x+2) }^{ 2 }-2\]
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