삼각함수의 공식과 정의

삼각함수의 정의 (기하학)

각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에 대하여 각 A, B, C의 대변의 길이를 a, b, h 라고 할때,사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수, 코시컨트 함수, 시컨트 함수, 코탄텐즈 함수의 정의는 다음과 같다.
\[\sin{A}=\frac{a}{h}\]
\[\cos{A}=\frac{b}{h}\]
\[\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\frac{a}{b}\]
\[\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{h}{a}\]
\[\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{h}{b}\]
\[\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}\]

삼각함수의 정의 (단위원)

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 (x,y) 에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 \(\theta\) 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.
\[\sin\theta=y\]
\[\cos\theta=x\]

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.
\[\tan  \theta ={ \frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  }  } \]
\[\sec\theta={{1} \over {\cos\theta}}\]
\[\csc\theta={{1} \over {\sin\theta}}\]
\[\cot\theta={{1} \over {\tan\theta}} = {{\cos\theta} \over {\sin\theta}}\]

삼각함수의 특수각에 대한 값

\[\begin{matrix} & { 0 }^{ \bullet } & { 30 }^{ \bullet } & { 45 }^{ \bullet } & { 60 }^{ \bullet } & { 90 }^{ \bullet } \\ \sin { } & 0 & \cfrac { 1 }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & 1 \\ \cos { } & 1 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \tan { } & 0 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 3 } & 1 & \sqrt { 3 } & \infty \end{matrix}\]

삼각함수의 부호

\[\begin{matrix}  & \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ 0<\theta <\cfrac { \pi  }{ 2 }  & + & + & + \\ \cfrac { \pi  }{ 2 } <\theta <\pi  & + & - & - \\ \pi <\theta <\cfrac { 3 }{ 2 } \pi  & - & - & + \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi <\theta <2\pi  & - & + & - \end{matrix}\]

삼각함수의 변환 공식 (단, n은 정수)

\[ \begin{matrix}  & \sin {  }  & \cos {  }  & \tan {  }  \\ 2n\pi +\theta  & \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ 2n\pi -\theta  & -\sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & -\tan { \theta  }  \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi +\theta  & \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  & -\cot { \theta  }  \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi -\theta  & \cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  & \cot { \theta  }  \\ \pi +\theta  & -\sin { \theta  }  & -\cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ \pi -\theta  & \sin { \theta  }  & -\cos { \theta  }  & -\tan { \theta  }  \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi +\theta  & -\cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  & -\cot { \theta  }  \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi -\theta  & -\cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  & \cot { \theta  }  \end{matrix} \]

삼각함수 사이의 관계

\[\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1\]
\[1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \]
\[1+\cot ^{ 2 }{ \theta } =\csc ^{ 2 }{ \theta } \]

삼각함수의 덧셈 정리

\[\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta\]
\[\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}\]

삼각함수의 합성

\[a\sin { \theta  } +b\cos { \theta  } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { (\theta +\alpha ) } \]
(단, \(\cos { \alpha  } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \), \(\sin { \alpha  } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \))

\[a\sin { \theta  } +b\cos { \theta  } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \cos { (\theta -\beta ) } \]
(단, \(\cos { \beta } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \), \(\sin { \beta } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \))

삼각함수 배각의 공식

\[\begin{align}
\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha
\end{align}\]
\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]
\[\begin{align}
\tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

삼각함수 반각의 공식

\[\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\]
\[\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\]
\[\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}\]

삼각함수의 곱을 합 또는 차로 고치는 공식

\[\sin { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } +\sin { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } \sin { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } -\sin { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } +\cos { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\sin { \alpha } \sin { \beta } =-\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } -\cos { (\alpha -\beta ) } \right\} \]

삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

\[\sin { \alpha } +\sin { \beta } =2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\sin { \alpha } -\sin { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } +\cos { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } -\cos { \beta } =-2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]

참조

위키백과

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