삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

\[\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta\]
\[\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}\]

사인함수의 덧셈정리 증명

\[OP=1\]
\[OQ=\cos\beta\]
\[PQ=\sin\beta\]
\[{QA\over OQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,QA=RB=\sin\alpha\cos\beta\]
\[{PR\over PQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,PR=\cos\alpha\sin\beta\]
\[\begin{split}
\therefore\,\sin{(\alpha\pm \beta)}&=RB\pm PR\\
&=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta
\end{split}\]

코사인함수의 덧셈정리 증명

\[OP=1\]
\[OQ=\cos\beta\]
\[PQ=\sin\beta\]
\[{OA\over OQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,OA=\cos\alpha\cos\beta\]
\[{RQ\over PQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,RQ=\sin\alpha\sin\beta=BA\]
\[\begin{split}
\therefore\,\cos{(\alpha\pm \beta)}&=OA\mp BA\\
&=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta
\end{split}\]

탄젠트함수의 덧셈정리 증명

\[\begin{split}
\tan{(\alpha\pm \beta)}&={\sin\alpha\pm\sin\beta\over\cos\alpha\pm\cos\beta}\\
&={\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta}\\
&={{\sin\alpha\over\cos\alpha}\pm {\sin\beta\over\cos\beta}\over 1\mp {\sin\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta}}\\
&={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}
\end{split}\]

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