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고등학교 수학 교육과정

Mathematics


  고등수학

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    적분법
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    일차변환과 행렬
    이차곡선
    공간도형과 공간좌표
    벡터

시그마 k=1부터 n까지 k 의 공식과 증명

\[{\sum _{k=0}^{n}{k}}={\sum _{k=1}^{n}{k}}=1+2+\cdots +(n-1)+n\]

우변을 A라 하고 A를 거꾸로 나열한 식을 A' 이라 할때, 처음의 식(A)과 거꾸로 나열한 식(A')을 더해주면(A+A') 다음과 같다. 여기서 A'은 A를 거꾸로 나열한 것이기 때문에, 덧셈의 교환법칙에 의해 A'=A 이다.

\[\begin{array}
 & 1+2+\cdots +(n-1)+n \\ + & n+(n-1)+\cdots +2+1 \\
\hline
& (n+1)+(n+1)+\cdots +(n+1)+(n+1)
\end{array}\]

위 결과와 같이 A+A'=n(n+1) 이다. 덧셈의 교환법칙에 의해 A'=A 이기 때문에 정리하면 다음과 같다.
\[2A=n(n+1)\]
\[A=\frac { n(n+1) }{ 2 }\]

따라서 시그마 k=1부터 n까지 k 의 결과는 다음과 같다.
\[{\sum _{k=1}^{n}{k}}=\frac { n(n+1) }{ 2 }\]

수학 문제 계산기



메뉴 설명


Custom

맞춤설정입니다.

극한값 입력 방법의 예: lim x->0 x^2
\[\lim_{x->0}  x^2 \]

시그마 입력 방법의 예: sum_k=0^infinity x^k
\[\sum _{ k=0 }^{ \infty  }{ { x }^{ k } } \]

도함수(미분) 입력 방법의 예: {(3x2+1)/(6x3+4x)}'
\[\left\{ { \frac { 3{ x }^{ 2 }+1 }{ 6{ x }^{ 3 }+4x } } \right\} ^{ \prime }={ \frac { d }{ dx } }\left( \left\{ { \frac { 3{ x }^{ 2 }+1 }{ 6{ x }^{ 3 }+4x } } \right\} \right) \]

적분 입력 방법의 예; int_1^2 e^2 x cos(3x) dx
\[\int_{ 1 }^{ 2 }{ e^{ 2 } x  \cos (3x)   dx } \]

Solve

\(\ge \) 방정식이나 부등식의 값을 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요.
입력 방법의 예: 3x2+x-7=4x

Graph

임력한 함수의 그래프만 확인하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요.
입력 방법의 예; x^3 - 6x^2 + 4x + 12

Limit

\(\lim\) 극한값을 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요. 아무것도 입력하지 않으면 입력하는 폼(영문)이 나옵니다.
입력 방법의 예: x^x as x->0

Sum

\(\sum\) 시그마를 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요. 아무것도 입력하지 않으면 입력하는 폼(영문)이 나옵니다.
입력 방법의 예; _k=0^infinity x^k

Derivative

\(\frac { d }{ dx } \) 도함수(미분)를 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요. 아무것도 입력하지 않으면 입력하는 폼(영문)이 나옵니다.
입력 방법의 예: (3x2+1)/(6x3+4x)

Integrate

\(\int\) 적분 값을 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요. 아무것도 입력하지 않으면 입력하는 폼(영문)이 나옵니다.
입력 방법의 예: e^2 x cos(3x) 또는 x Sqrt[1-Sqrt[x]]

Partial fractions

부분 분수를 해결하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요. 아무것도 입력하지 않으면 입력하는 폼(영문)이 나옵니다.
입력 방법의 예; 1/(x^3-1)

Quotient and remainder

지수와 나머지를 구하고자 할 때 이 메뉴를 선택하세요.
입력 방법의 예: (x5-14x4+3x2-2x+17)/(2x2-x+1)

고등수학에 꼭 필요한 삼각형과 사각형 넓이 공식




기본적인 삼각형의 넓이 (동영상 0초)
\[S=\frac { 1 }{ 2 } ah\]

삼각형의 각을 알고 있을 때 (동영상 30초)
\[S=\frac { 1 }{ 2 } ac\sin { B } \]

삼각형의 내접원의 반지름(r)과 세변의 길이를 알고 있을 때 (동영상 1분 10초)
\[S=\frac { 1 }{ 2 } r(a+b+c)\]

삼각형의 외접원의 반지름(R)과 세변의 길이를 알고 있을 때 (동영상 2분 20초)
\[S=\frac { abc }{ 4R } \]



평행사변형의 서로 다른 두 변의 길이(각각 a, b)와 각을 알고 있을 때 (동영상 3분 10초)
\[S=ab\sin { \theta  } \]


사각형의 두 대각선의 길이(각각 a, b)와 각을 알고 있을 때 (동영상 4분 15초)
\[S=\frac { 1 }{ 2 } ab\sin { \theta  } \]

a^{bx} 꼴의 적분

\[\int { { a }^{ bx }dx }\]

bx=t 로 치환하고 양 변을 미분하면 b dx=dt 이므로, 식에 b를 곱해주고 등식이 성립하기 위해 1/b 을 곱해주면 다음과 같다.
\[\frac { 1 }{ b } \int { b\cdot { a }^{ bx }dx }\]

여기서 bx=t 로 치환한 후 계산하면 다음과 같다.
\[\frac { 1 }{ b } \int { { a }^{ t }dt } = \frac { 1 }{ b } \cdot \frac { { a }^{ t } }{ \ln { a }  } +C \]

bx=t 이므로 정리하면 다음과 같다.
\[\frac { 1 }{ b } \cdot \frac { { a }^{ bx } }{ \ln { a }  } +C \]

따라서 int a^{bx} dx 의 결과는 다음과 같이 말할 수 있다.
\[\int { { a }^{ bx }dx }=\frac { { a }^{ bx } }{ b \cdot \ln { a }  } +C \]

대수 그래프

\(y=mx+b\)

\(y=x^2\)

\(y=x^3\)

\(y=x^4\)

\(y=x^5\)

\(y=x^{-1}\)

\(y=x^{-2}\)

점: \(x^2+y^2=0\)

원: \(x^2+y^2=r^2\)

타원: \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\) (단, a>b>0)

타원: \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } +\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\) (단, b>a>0)

포물선: \(y^2=4px\)

포물선: \(x^2=4py\)

쌍곡선: \(\frac { x^{ 2 } }{ a^{ 2 } } -\frac { y^{ 2 } }{ b^{ 2 } } =1\)

삼각함수 그래프

\(y=\sin(x)\)

\(y=\cos(x)\)

\(y=\tan(x)\)

\(y=\csc(x)\)

\(y=\sec(x)\)

\(y=\cot(x)\)

순열, 중복순열, 조합, 중복조합의 계산 공식

서로 다른 n개의 원소 중 r를 선택하는 방식은 다음과 같이 계산할 수 있다.

순서를 생각하고 중복을 허락하지 않는 경우 이는 순열 \( _{ n }{ P }_{ r }\) 이고, 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ _{ n }{ P }_{ r } =\frac { n! }{ (n-r)! } \]

순서를 생각하고 중복을 허락하는 경우 이는 중복순열 \( _{ n }{ \Pi }_{ r }\) 이고, 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ _{ n }{ \Pi }_{ r } ={ n }^{ r }\]

순서를 생각하지 않고 중복을 허락하지 않는 경우 이는 조합 \( _{ n }{ C }_{ r }\) 이고, 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ _{ n }{ C }_{ r } =\frac { n! }{ r!  (n-r)! } \]

순서를 생각하지 않고 중복을 허락하는 경우 이는 중복조합 \( _{ n }{ H }_{ r }\) 이고, 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ _{ n }{ H }_{ r } = _{ n+r-1 }C_{ r }\]

여사건의 확률



사건 A와 사건의 여사건 Ac 에 대해 \(A\cap { A }^{ c }=\emptyset \) 이므로 확률의 덧셈정리에 의해 다음이 성립한다.
\[P(A\cup { A }^{ c })=P(A)+P({ A }^{ c })=P(S)\]

또한, 전사건 S에 대해 P(S)=1 이므로 다음이 성립한다.
\[P(A)+P({ A }^{ c })=1\]
\[\therefore P(A)=1-P({ A }^{ c })\]
\[\therefore P( { A }^{ c })=1-P(A)\]

확률의 덧셈정리



표본공간 S에서 두 사건 A, B에 대하여 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 n(S), A, B가 일어나는 경우의 수를 각각 n(A), n(B)라 할 때 다음이 성립한다.
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]

확률 P(A)는 \(P(A)=\frac { n(A) }{ n(S) } \) 이므로 위의 결과에서 양 변을 n(S)로 나눠주면 다음이 성립한다.
\[\frac { n(A\cup B) }{ n(S) } =\frac { n(A) }{ n(S) } +\frac { n(B) }{ n(S) } -\frac { n(A\cap B) }{ n(S) } \]
\[\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]


두 사건 A, B가 배반사건일 경우 \(A\cup B=\emptyset \) 이므로 \(P(A\cup B)=0\), 따라서 다음이 성립한다.
\[\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]

원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 접선의 방정식 공식

도형 위의 점 (x1, y1)에서의 접선의 방정식


\[{ x }_{ 1 }x+{ y }_{ 1 }y={ r }^{ 2 }\]
\[{ ({ x }_{ 1 }-a) }(x-a)+({ y }_{ 1 }-b)(y-b)={ r }^{ 2 }\]

포물선

\[{ y }_{ 1 }y=2p ({ x }_{ 1 }+x) \]
\[({ y }_{ 1 }-b)(y-b)=2p  \{ ({ x }_{ 1 }-a)+(x-a) \} \]

타원

\[\frac { { x }_{ 1 }x }{ { a }^{ 2 } } +\frac { { y }_{ 1 }y }{ { b }^{ 2 } } =1\]
\[\frac { ({ x }_{ 1 }-\alpha )(x-\alpha ) }{ { a }^{ 2 } } +\frac { ({ y }_{ 1 }-\beta )(y-\beta ) }{ { b }^{ 2 } } =1\]

쌍곡선

\[\frac { { x }_{ 1 }x }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }_{ 1 }y }{ { b }^{ 2 } } =1\]
\[\frac { ({ x }_{ 1 }-\alpha )(x-\alpha ) }{ { a }^{ 2 } } -\frac { ({ y }_{ 1 }-\beta )(y-\beta ) }{ { b }^{ 2 } } =1\]
\[\frac { { x }_{ 1 }x }{ { a }^{ 2 } } -\frac { { y }_{ 1 }y }{ { b }^{ 2 } } =-1\]
\[\frac { ({ x }_{ 1 }-\alpha )(x-\alpha ) }{ { a }^{ 2 } } -\frac { ({ y }_{ 1 }-\beta )(y-\beta ) }{ { b }^{ 2 } } =-1\]


기울기가 m인 접선의 방정식


\[y=mx\pm r\sqrt { 1+{ m }^{ 2 } } \]
\[(y-a)=m(x-b)\pm r\sqrt { 1+{ m }^{ 2 } } \]

포물선

\[y=mx+\frac { p }{ m } \]
\[(y-a)=m(x-b)+\frac { p }{ m } \]

타원

\[y=mx\pm \sqrt { { a }^{ 2 }{ m }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }\]
\[(y-\alpha )=m(x-\beta )\pm \sqrt { { a }^{ 2 }{ m }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \]

쌍곡선

\[y=mx\pm \sqrt { { a }^{ 2 }{ m }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \]
\[(y-\alpha )=m(x-\beta )\pm \sqrt { { a }^{ 2 }{ m }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } } \]

다항함수, 초월함수, 합성함수의 미분법 공식

다항함수의 미분법

\[{ \left( { x }^{ n } \right) }^{ \prime }=n  { x }^{ n-1 }\]

다항함수의 미분법의 예

\[{ \left( { x }^{ 3 } \right) }^{ \prime }=3  { x }^{ 2 }\]
\[{ \left( { \sqrt { x } } \right) }^{ \prime }={ ({ x }^{ { 1 }\over{ 2 } }) }^{ \prime }=\frac { 1 }{ 2 } { x }^{ -{{ 1 }\over{ 2 }} }\]
\[{ \left( { \frac { 1 }{ x } } \right) }^{ \prime }={ ( { x }^{ -1 } ) }^{ \prime }=-{ x }^{ -2 }\]
\[{ \left( { \sqrt [ 3 ]{ x } } \right) }^{ \prime }={ ( { x }^{ { 1 }\over{ 3 } } ) }^{ \prime }=\frac { 1 }{ 3 } { x }^{ - {{ 2 }\over{ 3 }} }\]

초월함수의 미분법

\[{ \left( { e }^{ x } \right) }^{ \prime }={ e }^{ x }\]
\[{ \left( \ln { x } \right) }^{ \prime }=\frac { 1 }{ x } \]
\[{ \left( \sin { x } \right) }^{ \prime }=\cos { x } \]
\[{ \left( \cos { x } \right) }^{ \prime }=-\sin { x } \]

\({ e }^{ x }\) 에 대하여

\[\log _{ e }{ x } =\ln { x } \]

합성함수의 미분법

\[\left\{ { f\left( g(x) \right) } \right\} ^{ \prime }=f^{ \prime }\left( g(x) \right) \cdot { g^{ \prime }(x) }\]

함성함수의 미분법의 예

\[{ ({ e }^{ { x }^{ 2 } }) }^{ \prime  }=2  { e }^{ { x }^{ 2 } }x\]
\[{ ( { e }^{ \sin { x } } ) }^{ \prime }=\cos { x }  { e }^{ \sin { x } }\]
\[{ \left\{ \ln { ({ x }^{ 2 }+x+1) } \right\} }^{ \prime }=\frac { 2x+1 }{ { x }^{ 2 }+x+1 } \]
\[{ \left\{ \ln { (\sin { x } ) } \right\} }^{ \prime }=\frac { \cos { x } }{ \sin { x } } \]
\[{ (\sin { { e }^{ x } } ) }^{ \prime }={ e }^{ x }\cos { { e }^{ x } } \]
\[{ \left\{ \sin { (\sin { x } ) } \right\} }^{ \prime }=\cos { x }  \cos { (\sin { x } ) } \]
\[{ \left\{ \cos { (\sin { x } ) } \right\} }^{ \prime }=-\cos { x }  \sin { (\sin { x } ) } \]
\[{ (\sin ^{ 3 }{ x } ) }^{ \prime }=3\sin ^{ 2 }{ x }  \cos { x } \]
\[{ (\cos ^{ 2 }{ x } ) }^{ \prime  }=-2\cos { x } \sin { x } \]

곱의 미분법

\[{ \left\{ f\left( x \right)  g\left( x \right) \right\} }^{ \prime }=f^{ \prime }\left( x \right)  g\left( x \right) +f\left( x \right)  g^{ \prime }\left( x \right) \]

곱의 미분법의 예

\[{ ({ e }^{ x }\sin { x } ) }^{ \prime }={ e }^{ x }(\sin { x } +\cos { x } )\]
\[{ (\sin { x }  \cos { x } ) }^{ \prime }=\cos ^{ 2 }{ x } -\sin ^{ 2 }{ x } \]

몫의 미분법

\[{ \left\{ \frac { f\left( x \right) }{ g\left( x \right) } \right\} }^{ \prime }=\frac { f^{ \prime }\left( x \right)  g\left( x \right) -f\left( x \right)  g^{ \prime }\left( x \right) }{ { \left\{ g\left( x \right) \right\} }^{ 2 } } \]

몫의 미분법의 예

\[{ \left\{ \frac { \sin { x } }{ \cos { x } } \right\} }^{ \prime }=\frac { \cos ^{ 2 }{ x } +\sin ^{ 2 }{ x } }{ \cos ^{ 2 }{ x } } =\frac { 1 }{ \cos ^{ 2 }{ x } } \]

조합과 중복조합의 공식과 증명

조합

조합은 집합에서 일부 원소로 부분집합을 만드는 것을 말한다. n개의 원소를 가지는 집합에서 r개의 부분집합을 고르는 조합의 경우의 수를 이항 계수라 하고, 기호로 \({_{n}}{C}_{r}\), \(C(n, r)\), 또는 \(\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}\)로 나타낸다.

조합의 성질

(1) \({_{n}}{C}_{r}={_{n}}{C}_{n-r}\)
(2) \({_{n}}{C}_{r}={_{n-1}}{C}_{r-1}+{_{n-1}}{C}_{r}\)

논리적 증명

(1) n명 중 A라는 그룹에 들어갈 사람을 뽑는 경우의 수는 n명 중 A라는 그룹에 들어가지 않을 n-r명을 뽑는 경우의 수와 같다.

(2) n명 중 A라는 그룹에 들어갈 사람을 결정할 때, n명 중 특정한 한명 M이라는 사람을 중심으로 결정한다면, M이라는 사람이 A라는 그룹에 무조건 포함 되는 경우와 M이라는 사람이 A라는 그룹에 무조건 포함되지 않는 경우로 나눌 수 있다. 일단 M이라는 사람은 그룹에 포함될지의 여부가 결정되어 있으므로 M을 뺀 나머지 n-1명 중 M이 A라는 그룹에 무조건 포함되는 경우, M을 뺀 나머지 r-1명 뽑을 것이고, M이 A라는 그룹에 무조건 포함되지 않는 경우 A라는 그룹에 들어갈 r명을 뽑을 것이다.

중복조합

중복조합은 서로 다른 n개의 원소 중에서 중복을 허락하여 r개를 뽑는 경우의 수를 말하고, 기호로 \({_{n}}{H}_{r}\)이라 나타낸다. 중복조합의 수는 \({_{n}}{H}_{r}={_{n+r-1}}{C}_{r}\)로 계산한다.

중복조합의 공식 유도

중복조합 \({_{n}}{H}_{r}\)은 r개의 원소들을 순서에 상관없이 나열하는 것이므로, r개의 빈칸에 중복을 허용하여 n개의 원소를 넣는 경우의 수를 계산하는 문제와 같다. 여기에 n 가지의 경우로 구분할 수 있는 원소들을 순서에 상관없이 구분해야 하므로, n-1 개의 칸막이를 두고 n 가지 경우를 임의의 순서로 배열한다고 할 수 있다. 예를 들어 칸막이 기호를 /로 나타낸다면, 원소 A, B, C를 중복하여 5개를 뽑는 경우 중 " A A A B C "는 " A A A / B / C ", " B B B C C "는 " / B B B / C C "로 구분하는 것이다. 즉, 중복조합은 r개의 빈칸과 칸막이의 수 n-1개를 합한 r+n-1개의 빈칸에 칸막이가 들어갈 n-1개의 칸을 선택하면 된다. 결국 중복조합 \({_n}{H}{_r}\)은 \({_{n+r-1}}{C}{_{n-1}}\)이 된다. 따라서 \({_n}{C}{_r} = {_n}{C}{_{n-r}}\) 이므로 \({_n}{H}{_r}= {_{n+r-1}}{C}{_r}\)이 된다.

참조

위키백과

부정적분의 정의와 적분법

부정적분의 정의

부정적분은 미분하여 f(x)가 되는 함수 F(x)를 가리킨다. 즉, 부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호 \(\int\) 은 이러한 연산을 가리키는 연산자이다. 여기서 C는 적분상수이다.
\[\int { f\left( x \right)  dx } =F\left( x \right) +C\]


\(y={ x }^{ n }\)의 부정적분 (단, n은 실수)

\[\int { { x }^{ n }dx } =\begin{cases} { { 1 } \over { n+1 } }  { x }^{ n+1 }+C & n\neq -1 \\ \\ \ln { \left| x \right| +C }  & n=-1 \end{cases}\]


부정적분의 성질

\[\int { k  f\left( x \right)  dx } =k\int { f\left( x \right)  dx } \]
\[\int { \left\{ f\left( x \right) +g\left( x \right)  \right\}  dx } =\int { f\left( x \right)  dx } +\int { g\left( x \right)  dx } \]
\[\int { \left\{ f\left( x \right) -g\left( x \right)  \right\}  dx } =\int { f\left( x \right)  dx } -\int { g\left( x \right)  dx } \]


치환적분법

미분 가능한 함수 g(t) 에 대하여 x=g(t)로 놓으면,
\[\int { f\left( x \right)  dx } =\int { f\left( g\left( t \right) \right)  {g}^{\prime} \left( t \right)  dt } \]


삼각함수의 부정적분

\[\int { \sin { x }  dx } =-\cos { x } +C\]
\[\int { \cos { x }  dx } =\sin { x } +C\]
\[\int { \sec ^{ 2 }{ x }  dx } =\tan { x } +C\]
\[\int { \csc ^{ 2 }{ x }  dx } =-\cot { x } +C\]
\[\int { \sec { x }  \tan { x }  dx } =\sec { x } +C\]
\[\int { \csc { x }  \cot { x }  dx } =-\csc { x } +C\]


\(\int { \sin ^{ n }{ x }  dx } \), \(\int { \cos ^{ n }{ x }  dx } \) 꼴의 부정적분

n이 짝수일 때, 반각의 공식을 이용하여 차수를 낮춘 후 적분한다.
\[\sin ^{ n }{ x } =\frac { 1-\cos { 2x }  }{ 2 } \]
\[\cos ^{ n }{ x } =\frac { 1+\cos { 2x }  }{ 2 } \]

n이 홀수일 때, 치환적분법을 이용하여 적분한다.


\(\int { \sin ^{ m }{ x }  \cos ^{ n }{ x }  dx } \) 꼴의 부정적분

(1) m, n 중 적어도 하나가 홀수일 때는 치환적분법을 이용하여 적분한다.

(2) m, n 이 모두 짝수일 때는 반각의 공식이나 배각의 공식을 이용하여 차수를 낮춘 후 적분한다.


\(\int { \frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx } \) 꼴의 부정적분

\[\int {\frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx } =\ln { \left| f\left( x \right)\right| }+C\]


지수함수의 부정적분

\[\int { { e }^{ x }dx } ={ e }^{ x }+C\]
\[\int { { a }^{ x }dx } =\frac { { a }^{ x } }{ \ln { a }  } +C\]


분수함수의 부정적분

(1) 분자의 차수가 분모의 차수보다 높거나 같은 경우 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지를 분리한다.

(2) 부분분수분해를 이용하여 분수식을 간단하게 변형한 후 우변을 통분하고 좌변과 비교하여 A와 B, (C)의 값을 정한다.
\[\frac { 1 }{ \left( x+a \right) \left( x+b \right)  } =\frac { 1 }{ b-a } \left( \frac { 1 }{ x+a } -\frac { 1 }{ x+b }  \right) \]
\[\frac { px+q }{ \left( x+a \right) \left( x+b \right)  } =\frac { A }{ x+a } +\frac { B }{ x+b } \]
\[\frac { q{ x }^{ 2 }+qx+r }{ \left( x+a \right) \left( { x }^{ 2 }+bx+c \right)  } =\frac { A }{ x+a } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+bx+c } \]

(3) \(\int { \frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx } =\ln { \left| f\left( x \right) \right| }+C\) 를 이용하여 부정적분을 구한다.


부분적분법

상대적으로 적분하기 어려운 함수를 f(x)로, 적분하기 쉬운 함수를 g'(x)로 놓는 것이 좋다.
\[\int { f\left( x \right)  {g}^{\prime} \left( x \right)  dx } =f\left( x \right)  g\left( x \right) -\int { {f}^{\prime} \left( x \right)  g\left( x \right)  dx } \]

삼각함수의 공식과 정의



삼각함수의 정의 (기하학)

각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에 대하여 각 A, B, C의 대변의 길이를 a, b, h 라고 할때,사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수, 코시컨트 함수, 시컨트 함수, 코탄텐즈 함수의 정의는 다음과 같다.
\[\sin{A}=\frac{a}{h}\]
\[\cos{A}=\frac{b}{h}\]
\[\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\frac{a}{b}\]
\[\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{h}{a}\]
\[\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{h}{b}\]
\[\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}\]

삼각함수의 정의 (단위원)

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 (x,y) 에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을 \(\theta\) 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.
\[\sin\theta=y\]
\[\cos\theta=x\]

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.
\[\tan  \theta ={ \frac { \sin { \theta  }  }{ \cos { \theta  }  }  } \]
\[\sec\theta={{1} \over {\cos\theta}}\]
\[\csc\theta={{1} \over {\sin\theta}}\]
\[\cot\theta={{1} \over {\tan\theta}} = {{\cos\theta} \over {\sin\theta}}\]

삼각함수의 특수각에 대한 값

\[\begin{matrix} & { 0 }^{ \bullet } & { 30 }^{ \bullet } & { 45 }^{ \bullet } & { 60 }^{ \bullet } & { 90 }^{ \bullet } \\ \sin { } & 0 & \cfrac { 1 }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & 1 \\ \cos { } & 1 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \tan { } & 0 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 3 } & 1 & \sqrt { 3 } & \infty \end{matrix}\]

삼각함수의 부호

\[\begin{matrix}  & \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ 0<\theta <\cfrac { \pi  }{ 2 }  & + & + & + \\ \cfrac { \pi  }{ 2 } <\theta <\pi  & + & - & - \\ \pi <\theta <\cfrac { 3 }{ 2 } \pi  & - & - & + \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi <\theta <2\pi  & - & + & - \end{matrix}\]

삼각함수의 변환 공식 (단, n은 정수)

\[ \begin{matrix}  & \sin {  }  & \cos {  }  & \tan {  }  \\ 2n\pi +\theta  & \sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ 2n\pi -\theta  & -\sin { \theta  }  & \cos { \theta  }  & -\tan { \theta  }  \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi +\theta  & \cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  & -\cot { \theta  }  \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi -\theta  & \cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  & \cot { \theta  }  \\ \pi +\theta  & -\sin { \theta  }  & -\cos { \theta  }  & \tan { \theta  }  \\ \pi -\theta  & \sin { \theta  }  & -\cos { \theta  }  & -\tan { \theta  }  \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi +\theta  & -\cos { \theta  }  & \sin { \theta  }  & -\cot { \theta  }  \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi -\theta  & -\cos { \theta  }  & -\sin { \theta  }  & \cot { \theta  }  \end{matrix} \]

삼각함수 사이의 관계

\[\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1\]
\[1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta } \]
\[1+\cot ^{ 2 }{ \theta } =\csc ^{ 2 }{ \theta } \]

삼각함수의 덧셈 정리

\[\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta\]
\[\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}\]

삼각함수의 합성

\[a\sin { \theta  } +b\cos { \theta  } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { (\theta +\alpha ) } \]
(단, \(\cos { \alpha  } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \), \(\sin { \alpha  } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \))

\[a\sin { \theta  } +b\cos { \theta  } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \cos { (\theta -\beta ) } \]
(단, \(\cos { \beta } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \), \(\sin { \beta } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } }  } \))

삼각함수 배각의 공식

\[\begin{align}
\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha
\end{align}\]
\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]
\[\begin{align}
\tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

삼각함수 반각의 공식

\[\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\]
\[\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\]
\[\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}\]

삼각함수의 곱을 합 또는 차로 고치는 공식

\[\sin { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } +\sin { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } \sin { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } -\sin { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } +\cos { (\alpha -\beta ) } \right\} \]
\[\sin { \alpha } \sin { \beta } =-\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } -\cos { (\alpha -\beta ) } \right\} \]

삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

\[\sin { \alpha } +\sin { \beta } =2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\sin { \alpha } -\sin { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } +\cos { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]
\[\cos { \alpha } -\cos { \beta } =-2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\} \]

참조

위키백과

이차함수의 최대, 최소

이차함수 \(y=a{ x }^{ 2 }+bx+c\) 의 최대, 최소는 이차함수를 다음과 같이 표준형으로 만들어 확인할 수 있다. 표준형에서의 상수항이 이차함수의 최대, 최소값이다.
\[y=a{ \left( x+\frac { b }{ 2a }  \right) }^{ 2 }-\frac { { b }^{ 2 } }{ 4a } +c\]

예를 들어, \(y=3{ x }^{ 2 }+6x+7\) 는 이차항의 계수가 0보다 크므로 아래로 볼록한 모양이고, 표준형으로 만든 식의 상수항, 즉 4가 최소값이라는 것을 확인할 수 있다.
\[\begin{eqnarray} y & = & 3{ \left( x+\frac { 6 }{ 2\cdot 3 }  \right)  }^{ 2 }-\frac { { 6 }^{ 2 } }{ 4\cdot 3 } +7 \\  & = & 3{ (x+1) }^{ 2 }+4 \end{eqnarray}\]

완전제곱식을 0으로 만드는 x의 값이 최대, 최소값의 x좌표, 상수항이 y좌표이다. 위 식에서 최소 값의 좌표는 (-1,4) 이다. 즉, 이차함수의 표준형이 다음과 같을 때, 이차함수의 꼭짓점은 (p, q) 이다.
\[y=a{ \left( x-p \right)  }^{ 2 }+q\]

이차함수의 범위가 주어진 경우 이차함수의 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되는 경우와 그렇지 않은 경우로 나누어 풀 수 있다.

이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되고, a>0 인 경우 표준형의 상수항이 최소값, 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 큰 값이 최대값이다.

예를 들어, \(y={ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -3<x<1 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=-2 일 때, 즉 -2 이고, 최대값은 x=0 일 때, 즉 2 이다.
\[y={ (x+2) }^{ 2 }-2\]

이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되고, a<0 인 경우 표준형의 상수항이 최대값, 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 작은 값이 최소값이다.

예를 들어, \(y=-{ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -2<x<4 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=-1 일 때, 즉 -3 이고, 최대값은 x=2 일 때, 즉 6 이다.
\[y={ -(x-2) }^{ 2 }+6\]

이차함수 최대, 최소값의 좌표가 주어진 범위에 포함되지 않는 경우 주어진 범위의 가장 큰 수와 가장 작은 수를 식에 대입해 봤을 때 가장 작은 값이 최소값, 가장 큰 값이 최대값이다.

예를 들어, \(y={ x }^{ 2 }+4x+2\) (단, -1<x<4 이고 x=정수) 에서 최소값은 x=0 일 때, 즉 2 이고, 최대값은 x=3 일 때, 즉 23 이다.
\[y={ (x+2) }^{ 2 }-2\]

평면도형의 넓이와 둘레


정사각형

정사각형의 한 변의 길이를 \(a\)라고 할 때, 둘레 \(P\)와 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[\begin{align}
P&=4a\\
S&=a^2
\end{align}\]



직사각형

직사각형의 가로를 \(l\), 세로를 \(w\)라고 할 때, 둘레 \(P\)와 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[\begin{align}
P&=2l+2w=2(l+w)\\
S&=lw
\end{align}\]



삼각형
삼각형의 밑변의 길이를 \(b\), 높이를 \(h\)라고 할 때, 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[S={1\over 2}bh\]

고등수학에 꼭 필요한 삼각형과 사각형 넓이 공식
http://mentalplex.blogspot.com/2012/05/blog-post.html



마름모

마름모의 서로 수직인 두 대각선의 길이를 각각 \(a\), \(b\)라고 할 때, 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[S={1\over 2}ab\]



평행사변형

평행사변형의 밑변의 길이를 \(B\), 높이를 \(H\)라고 할 때, 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[S=BH\]



사다리꼴

사다리꼴의 평행한 두 변을 각각 \(a\), \(b\)이고, 높이를 \(h\)라고 할 때, 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[S={a+b\over 2}h\]



원의 반지름을 \(r\)이라고 할 때, 둘레 \(P\)와 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[\begin{align}
P&=2\pi r\\
S&=\pi r^2
\end{align}\]



부채꼴

원의 반지름을 \(r\)이라고 할 때, 부채꼴의 호의 길이 \(L\)과 넓이 \(S\)에 대하여 다음이 성립한다.
\[\begin{align}
L&=r\theta\\
S&={1\over 2}r^2\theta={1\over 2}rL
\end{align}\]

행렬과 그 연산

행렬의 정의

행렬은 수 또는 문자를 직사각형으로 배열한 것을 말한다. 여기서 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다.

행렬의 예

\[A= \begin{bmatrix}
2 & 16 & -5 \\
-3 & 9 & 24
\end{bmatrix}\]

괄호를 이용하기도 한다.
\[A= \begin{pmatrix}
2 & 16 & -5 \\
-3 & 9 & 24
\end{pmatrix}\]

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 세로로 배열한 줄을 열이라 한다. \(m\)개의 행과 \(n\)개의 열로 이루어진 행렬을 \(m\text{-by-}n\) 행렬 또는 \(m \times n \) 행렬이라고 한다. 또한, \(n \times n \) 행렬은 \(n\)차 정사각행렬이라고 한다. 위 행렬은 \(2 \times 3 \) 행렬이다.

행렬의 제 \(i\)행과 제 \(j\)열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분이라 하고, 기호로 \(a_{i,j}\)로 나타낸다.

행렬의 덧셈

두 행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 두 행렬이 같은 크기의 행렬일 때, 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분과 행렬 \(B\)의 \((i, j)\) 성분을 더한 것이 행렬의 덧셈이고, \(A+B\)와 같이 나타낸다.

행렬의 덧셈의 예

\[\begin{align}
A+B&=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 7 & 0
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
9 & 6 & -3\\
5 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2+9 & 0+6 & 0+(-3)\\
(-3)+5 & 7+0 & 0+0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
11 & 6 & -3\\
2 & 7 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}\]

행렬의 실수배

행렬 \(A\)의 모든 성분에 실수 \(k\)를 곱한 행렬을 \(kA\)라고 한다.
\[A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}\]
행렬 \(A\)의 성분이 위와 같을 때, 행렬 \(A\)의 \(k\)배는 아래와 같다.
\[kA=k\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
ka_{1,1} & ka_{1,2}\\
ka_{2,1} & ka_{2,2}
\end{pmatrix}\]

행렬의 실수배의 예

\[\begin{align}
2*\begin{pmatrix}
1 & 0 & 7\\
3 & -2 & 4
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
2*1 & 2*0 & 2*7\\
2*3 & 2*(-2) & 2*4
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 14\\
6 & -4 & 8
\end{pmatrix}
\end{align}\]

행렬의 곱셈

두 행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 행렬 \(A\)의 열의 개수와 행렬 \(B\)의 행의 개수가 같을 때, 행렬 \(A\)의 제 \(i\)행의 각 성분과 행렬 \(B\)의 제 \(j\)열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한것을 두 행렬 \(A\), \(B\)의 곱이라 하고, \(AB\)와 같이 나타낸다.

행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다.
\(AB\neq BA\)

행렬의 곱셈의 예

\[\begin{pmatrix}
\underline{7} & \underline{6} & \underline{2}\\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & \underline{0}\\
3 & \underline{-2}\\
5 & \underline{3}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
35 & \underline{-6}\\
18 & -10
\end{pmatrix}\]
위 밑줄의 \(-6\)은 아래와 같이 계산된다.
\[(7*0)+\{6*(-2)\}+(2*3)=(-6)\]

단위행렬

주 대각선의 성분이 모두 1이고 나머지 성분은 0인 \(n\)차 정사각행렬을 단위행렬 \(I\)라  하고, \(I_n\)이라 쓴다. 문맥상 단위행렬의 크기를 유추할 수 있는 경우 단위행렬의 크기를 생략하여 \(I\)로 쓰기도 한다. 또한, 단위행렬을 \(E\)로 사용하기도 한다.
\[I_2=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
I_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]

영행렬

행렬의 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고, 일반적으로 영행렬을 \(O\)로 나타낸다.
\[\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
\end{pmatrix}\]

삼각함수 배각의 공식과 반각의 공식

배각의 공식

삼각함수 덧셈정리로부터 유도해 낼 수 있다.
\[\begin{align}
\sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha
\end{align}\]
\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]
\[\begin{align}
\tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

반각의 공식

\[\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}\]
\[\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}\]
\[\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}\]

사인함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\
&=2\sin\alpha\cos\alpha
\end{align}\]

코사인함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\sin\alpha\\
&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\
&=1-2\sin^2\alpha\\
&=2\cos^2\alpha -1
\end{align}\]

탄젠트함수의 배각의 공식 증명

\[\begin{align}
\tan2\alpha&={\tan\alpha+\tan\alpha\over 1-\tan\alpha\tan\alpha}\\
&={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha}
\end{align}\]

사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서 \(\alpha={\alpha\over 2}\)로 놓으면,
\[\begin{align}
\cos\alpha&=1-2\sin^2{\alpha\over 2}\\
{\cos\alpha\over 2}&={1\over 2}-\sin^2{\alpha\over 2}\\
\sin^2{\alpha\over 2}&={1-\cos\alpha\over 2}
\end{align}\]

코사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서 \(\alpha={\alpha\over 2}\)로 놓으면,
\[\begin{align}
\cos\alpha&=2\cos^2{\alpha\over 2}-1\\
{\cos\alpha\over 2}&=\cos^2{\alpha\over 2}-{1\over 2}\\
\cos^2{\alpha\over 2} &={1+\cos\alpha\over 2 }
\end{align}\]

탄젠트함수의 반각의 공식 증명

\[\begin{align}
\tan^2{\alpha\over 2}&={\sin^2{\alpha\over 2}\over \cos^2{\alpha\over 2}}={{1-\cos\alpha\over 2}\over{1+\cos\alpha\over 2}}\\
&={1-\cos\alpha\over 1+\cos\alpha}
\end{align}\]

삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

\[\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\]
\[\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta\]
\[\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}\]

사인함수의 덧셈정리 증명

\[OP=1\]
\[OQ=\cos\beta\]
\[PQ=\sin\beta\]
\[{QA\over OQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,QA=RB=\sin\alpha\cos\beta\]
\[{PR\over PQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,PR=\cos\alpha\sin\beta\]
\[\begin{split}
\therefore\,\sin{(\alpha\pm \beta)}&=RB\pm PR\\
&=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta
\end{split}\]

코사인함수의 덧셈정리 증명

\[OP=1\]
\[OQ=\cos\beta\]
\[PQ=\sin\beta\]
\[{OA\over OQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,OA=\cos\alpha\cos\beta\]
\[{RQ\over PQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,RQ=\sin\alpha\sin\beta=BA\]
\[\begin{split}
\therefore\,\cos{(\alpha\pm \beta)}&=OA\mp BA\\
&=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta
\end{split}\]

탄젠트함수의 덧셈정리 증명

\[\begin{split}
\tan{(\alpha\pm \beta)}&={\sin\alpha\pm\sin\beta\over\cos\alpha\pm\cos\beta}\\
&={\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta}\\
&={{\sin\alpha\over\cos\alpha}\pm {\sin\beta\over\cos\beta}\over 1\mp {\sin\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta}}\\
&={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}
\end{split}\]
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