삼각함수 배각의 공식과 반각의 공식

배각의 공식

삼각함수 덧셈정리로부터 유도해 낼 수 있다.

$\begin{align} \sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha \end{align}$

$\begin{align} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha -1 \end{align}$

$\begin{align} \tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha} \end{align}$

반각의 공식

$\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}$

$\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}$

$\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}$

사인함수의 배각의 공식 증명

$\begin{align} \sin2\alpha&=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\\ &=2\sin\alpha\cos\alpha \end{align}$

코사인함수의 배각의 공식 증명

$\begin{align} \cos2\alpha&=\cos\alpha\cos\alpha+\sin\alpha\sin\alpha\\ &=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha -1 \end{align}$

탄젠트함수의 배각의 공식 증명

$\begin{align} \tan2\alpha&={\tan\alpha+\tan\alpha\over 1-\tan\alpha\tan\alpha}\\ &={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha} \end{align}$

사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서

$\alpha={\alpha\over 2}$ 로 놓으면,

$\begin{align} \cos\alpha&=1-2\sin^2{\alpha\over 2}\\ {\cos\alpha\over 2}&={1\over 2}-\sin^2{\alpha\over 2}\\ \sin^2{\alpha\over 2}&={1-\cos\alpha\over 2} \end{align}$

코사인함수의 반각의 공식 증명

코사인함수의 배각의 공식에서

$\alpha={\alpha\over 2}$ 로 놓으면,

$\begin{align} \cos\alpha&=2\cos^2{\alpha\over 2}-1\\ {\cos\alpha\over 2}&=\cos^2{\alpha\over 2}-{1\over 2}\\ \cos^2{\alpha\over 2} &={1+\cos\alpha\over 2 } \end{align}$

탄젠트함수의 반각의 공식 증명

$\begin{align} \tan^2{\alpha\over 2}&={\sin^2{\alpha\over 2}\over \cos^2{\alpha\over 2}}={{1-\cos\alpha\over 2}\over{1+\cos\alpha\over 2}}\\ &={1-\cos\alpha\over 1+\cos\alpha} \end{align}$

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