부정적분의 정의와 적분법

부정적분의 정의

부정적분은 미분하여 f(x)가 되는 함수 F(x)를 가리킨다. 즉, 부정적분은 미분의 역과정을 수행하면 된다. 기호

$\int$ 은 이러한 연산을 가리키는 연산자이다. 여기서 C는 적분상수이다.

$\int { f\left( x \right) dx } =F\left( x \right) +C$

$y={ x }^{ n }$ 의 부정적분 (단, n은 실수)

$\int { { x }^{ n }dx } =\begin{cases} { { 1 } \over { n+1 } } { x }^{ n+1 }+C & n\neq -1 \\ \\ \ln { \left| x \right| +C } & n=-1 \end{cases}$

부정적분의 성질

$\int { k f\left( x \right) dx } =k\int { f\left( x \right) dx }$

$\int { \left\{ f\left( x \right) +g\left( x \right) \right\} dx } =\int { f\left( x \right) dx } +\int { g\left( x \right) dx }$

$\int { \left\{ f\left( x \right) -g\left( x \right) \right\} dx } =\int { f\left( x \right) dx } -\int { g\left( x \right) dx }$

치환적분법

미분 가능한 함수 g(t) 에 대하여 x=g(t)로 놓으면,

$\int { f\left( x \right) dx } =\int { f\left( g\left( t \right) \right) {g}^{\prime} \left( t \right) dt }$

삼각함수의 부정적분

$\int { \sin { x } dx } =-\cos { x } +C$

$\int { \cos { x } dx } =\sin { x } +C$

$\int { \sec ^{ 2 }{ x } dx } =\tan { x } +C$

$\int { \csc ^{ 2 }{ x } dx } =-\cot { x } +C$

$\int { \sec { x } \tan { x } dx } =\sec { x } +C$

$\int { \csc { x } \cot { x } dx } =-\csc { x } +C$

$\int { \sin ^{ n }{ x } dx }$ , $\int { \cos ^{ n }{ x } dx }$ 꼴의 부정적분

n이 짝수일 때, 반각의 공식을 이용하여 차수를 낮춘 후 적분한다.

$\sin ^{ n }{ x } =\frac { 1-\cos { 2x } }{ 2 }$

$\cos ^{ n }{ x } =\frac { 1+\cos { 2x } }{ 2 }$

n이 홀수일 때, 치환적분법을 이용하여 적분한다.

$\int { \sin ^{ m }{ x } \cos ^{ n }{ x } dx }$ 꼴의 부정적분

(1) m, n 중 적어도 하나가 홀수일 때는 치환적분법을 이용하여 적분한다.

(2) m, n 이 모두 짝수일 때는 반각의 공식이나 배각의 공식을 이용하여 차수를 낮춘 후 적분한다.

$\int { \frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx }$ 꼴의 부정적분

$\int {\frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx } =\ln { \left| f\left( x \right)\right| }+C$

지수함수의 부정적분

$\int { { e }^{ x }dx } ={ e }^{ x }+C$

$\int { { a }^{ x }dx } =\frac { { a }^{ x } }{ \ln { a } } +C$

분수함수의 부정적분

(1) 분자의 차수가 분모의 차수보다 높거나 같은 경우 분자를 분모로 나누어 몫과 나머지를 분리한다.

(2) 부분분수분해를 이용하여 분수식을 간단하게 변형한 후 우변을 통분하고 좌변과 비교하여 A와 B, (C)의 값을 정한다.

$\frac { 1 }{ \left( x+a \right) \left( x+b \right) } =\frac { 1 }{ b-a } \left( \frac { 1 }{ x+a } -\frac { 1 }{ x+b } \right)$

$\frac { px+q }{ \left( x+a \right) \left( x+b \right) } =\frac { A }{ x+a } +\frac { B }{ x+b }$

$\frac { q{ x }^{ 2 }+qx+r }{ \left( x+a \right) \left( { x }^{ 2 }+bx+c \right) } =\frac { A }{ x+a } +\frac { Bx+C }{ { x }^{ 2 }+bx+c }$

(3)

$\int { \frac { {f}^{\prime} \left( x \right) }{ f\left( x \right) } dx } =\ln { \left| f\left( x \right) \right| }+C$ 를 이용하여 부정적분을 구한다.

부분적분법

상대적으로 적분하기 어려운 함수를 f(x)로, 적분하기 쉬운 함수를 g'(x)로 놓는 것이 좋다.

$\int { f\left( x \right) {g}^{\prime} \left( x \right) dx } =f\left( x \right) g\left( x \right) -\int { {f}^{\prime} \left( x \right) g\left( x \right) dx }$

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