삼각함수의 공식과 정의

삼각함수의 정의 (기하학)

각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에 대하여 각 A, B, C의 대변의 길이를 a, b, h 라고 할때,사인 함수, 코사인 함수, 탄젠트 함수, 코시컨트 함수, 시컨트 함수, 코탄텐즈 함수의 정의는 다음과 같다.

$\sin{A}=\frac{a}{h}$

$\cos{A}=\frac{b}{h}$

$\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}=\frac{a}{b}$

$\csc{A}=\frac{1}{\sin{A}}=\frac{h}{a}$

$\sec{A}=\frac{1}{\cos{A}}=\frac{h}{b}$

$\cot{A}=\frac{1}{\tan{A}}=\frac{b}{a}$

삼각함수의 정의 (단위원)

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 (x,y) 에 대해, x축과 점과 원점을 잇는 직선간의 각을

$\theta$ 라디안이라고 하면, 이때 사인, 코사인은 다음과 같이 정의된다.

$\sin\theta=y$

$\cos\theta=x$

또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

$\tan \theta ={ \frac { \sin { \theta } }{ \cos { \theta } } }$

$\sec\theta={{1} \over {\cos\theta}}$

$\csc\theta={{1} \over {\sin\theta}}$

$\cot\theta={{1} \over {\tan\theta}} = {{\cos\theta} \over {\sin\theta}}$

삼각함수의 특수각에 대한 값

$\begin{matrix} & { 0 }^{ \bullet } & { 30 }^{ \bullet } & { 45 }^{ \bullet } & { 60 }^{ \bullet } & { 90 }^{ \bullet } \\ \sin { } & 0 & \cfrac { 1 }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & 1 \\ \cos { } & 1 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 2 } & \cfrac { \sqrt { 2 } }{ 2 } & \cfrac { 1 }{ 2 } & 0 \\ \tan { } & 0 & \cfrac { \sqrt { 3 } }{ 3 } & 1 & \sqrt { 3 } & \infty \end{matrix}$

삼각함수의 부호

$\begin{matrix} & \sin { \theta } & \cos { \theta } & \tan { \theta } \\ 0<\theta <\cfrac { \pi }{ 2 } & + & + & + \\ \cfrac { \pi }{ 2 } <\theta <\pi & + & - & - \\ \pi <\theta <\cfrac { 3 }{ 2 } \pi & - & - & + \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi <\theta <2\pi & - & + & - \end{matrix}$

삼각함수의 변환 공식 (단, n은 정수)

$\begin{matrix} & \sin { } & \cos { } & \tan { } \\ 2n\pi +\theta & \sin { \theta } & \cos { \theta } & \tan { \theta } \\ 2n\pi -\theta & -\sin { \theta } & \cos { \theta } & -\tan { \theta } \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi +\theta & \cos { \theta } & -\sin { \theta } & -\cot { \theta } \\ \cfrac { 1 }{ 2 } \pi -\theta & \cos { \theta } & \sin { \theta } & \cot { \theta } \\ \pi +\theta & -\sin { \theta } & -\cos { \theta } & \tan { \theta } \\ \pi -\theta & \sin { \theta } & -\cos { \theta } & -\tan { \theta } \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi +\theta & -\cos { \theta } & \sin { \theta } & -\cot { \theta } \\ \cfrac { 3 }{ 2 } \pi -\theta & -\cos { \theta } & -\sin { \theta } & \cot { \theta } \end{matrix}$

삼각함수 사이의 관계

$\sin ^{ 2 }{ \theta } +\cos ^{ 2 }{ \theta } =1$

$1+\tan ^{ 2 }{ \theta } =\sec ^{ 2 }{ \theta }$

$1+\cot ^{ 2 }{ \theta } =\csc ^{ 2 }{ \theta }$

삼각함수의 덧셈 정리

$\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}$

삼각함수의 합성

$a\sin { \theta } +b\cos { \theta } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \sin { (\theta +\alpha ) }$
(단,

$\cos { \alpha } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } }$ ,

$\sin { \alpha } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } }$ )

$a\sin { \theta } +b\cos { \theta } =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \cos { (\theta -\beta ) }$
(단,

$\cos { \beta } =\frac { a }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } }$ ,

$\sin { \beta } =\frac { b }{ \sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } }$ )

삼각함수 배각의 공식

$\begin{align} \sin2\alpha=2\sin\alpha \cos\alpha \end{align}$

$\begin{align} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha -\sin^2\alpha\\ &=1-2\sin^2\alpha\\ &=2\cos^2\alpha -1 \end{align}$

$\begin{align} \tan2\alpha={2\tan\alpha\over 1-\tan^2\alpha} \end{align}$

삼각함수 반각의 공식

$\sin^2{\alpha\over 2}={1-\cos\alpha\over 2}$

$\cos^2{\alpha\over 2}={1+\cos\alpha\over 2}$

$\tan^2{\alpha\over 2}={\cos-\alpha\over \cos+\alpha}$

삼각함수의 곱을 합 또는 차로 고치는 공식

$\sin { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } +\sin { (\alpha -\beta ) } \right\}$

$\cos { \alpha } \sin { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \sin { (\alpha +\beta ) } -\sin { (\alpha -\beta ) } \right\}$

$\cos { \alpha } \cos { \beta } =\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } +\cos { (\alpha -\beta ) } \right\}$

$\sin { \alpha } \sin { \beta } =-\frac { 1 }{ 2 } \left\{ \cos { (\alpha +\beta ) } -\cos { (\alpha -\beta ) } \right\}$

삼각함수의 합 또는 차를 곱으로 고치는 공식

$\sin { \alpha } +\sin { \beta } =2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\}$

$\sin { \alpha } -\sin { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\}$

$\cos { \alpha } +\cos { \beta } =2\left\{ \cos { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \cos { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\}$

$\cos { \alpha } -\cos { \beta } =-2\left\{ \sin { \left( \frac { \alpha +\beta }{ 2 } \right) } \sin { \left( \frac { \alpha -\beta }{ 2 } \right) } \right\}$

참조

위키백과

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