행렬의 정의
행렬은 수 또는 문자를 직사각형으로 배열한 것을 말한다. 여기서 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다.행렬의 예
\[A= \begin{bmatrix}2 & 16 & -5 \\
-3 & 9 & 24
\end{bmatrix}\]
괄호를 이용하기도 한다.
\[A= \begin{pmatrix}
2 & 16 & -5 \\
-3 & 9 & 24
\end{pmatrix}\]
행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 세로로 배열한 줄을 열이라 한다. \(m\)개의 행과 \(n\)개의 열로 이루어진 행렬을 \(m\text{-by-}n\) 행렬 또는 \(m \times n \) 행렬이라고 한다. 또한, \(n \times n \) 행렬은 \(n\)차 정사각행렬이라고 한다. 위 행렬은 \(2 \times 3 \) 행렬이다.
행렬의 제 \(i\)행과 제 \(j\)열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분이라 하고, 기호로 \(a_{i,j}\)로 나타낸다.
행렬의 덧셈
두 행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 두 행렬이 같은 크기의 행렬일 때, 행렬 \(A\)의 \((i, j)\) 성분과 행렬 \(B\)의 \((i, j)\) 성분을 더한 것이 행렬의 덧셈이고, \(A+B\)와 같이 나타낸다.행렬의 덧셈의 예
\[\begin{align}A+B&=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
-3 & 7 & 0
\end{pmatrix}+
\begin{pmatrix}
9 & 6 & -3\\
5 & 0 & 0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2+9 & 0+6 & 0+(-3)\\
(-3)+5 & 7+0 & 0+0
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
11 & 6 & -3\\
2 & 7 & 0
\end{pmatrix}
\end{align}\]
행렬의 실수배
행렬 \(A\)의 모든 성분에 실수 \(k\)를 곱한 행렬을 \(kA\)라고 한다.\[A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}\]
행렬 \(A\)의 성분이 위와 같을 때, 행렬 \(A\)의 \(k\)배는 아래와 같다.
\[kA=k\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2}\\
a_{2,1} & a_{2,2}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
ka_{1,1} & ka_{1,2}\\
ka_{2,1} & ka_{2,2}
\end{pmatrix}\]
행렬의 실수배의 예
\[\begin{align}2*\begin{pmatrix}
1 & 0 & 7\\
3 & -2 & 4
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}
2*1 & 2*0 & 2*7\\
2*3 & 2*(-2) & 2*4
\end{pmatrix}\\
&=\begin{pmatrix}
2 & 0 & 14\\
6 & -4 & 8
\end{pmatrix}
\end{align}\]
행렬의 곱셈
두 행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 행렬 \(A\)의 열의 개수와 행렬 \(B\)의 행의 개수가 같을 때, 행렬 \(A\)의 제 \(i\)행의 각 성분과 행렬 \(B\)의 제 \(j\)열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한것을 두 행렬 \(A\), \(B\)의 곱이라 하고, \(AB\)와 같이 나타낸다.행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다.
\(AB\neq BA\)
행렬의 곱셈의 예
\[\begin{pmatrix}\underline{7} & \underline{6} & \underline{2}\\
3 & 5 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & \underline{0}\\
3 & \underline{-2}\\
5 & \underline{3}
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
35 & \underline{-6}\\
18 & -10
\end{pmatrix}\]
위 밑줄의 \(-6\)은 아래와 같이 계산된다.
\[(7*0)+\{6*(-2)\}+(2*3)=(-6)\]
단위행렬
주 대각선의 성분이 모두 1이고 나머지 성분은 0인 \(n\)차 정사각행렬을 단위행렬 \(I\)라 하고, \(I_n\)이라 쓴다. 문맥상 단위행렬의 크기를 유추할 수 있는 경우 단위행렬의 크기를 생략하여 \(I\)로 쓰기도 한다. 또한, 단위행렬을 \(E\)로 사용하기도 한다.\[I_2=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix},
I_3=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}\]
영행렬
행렬의 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고, 일반적으로 영행렬을 \(O\)로 나타낸다.\[\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
0 & 0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0\\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 & 0\\
\end{pmatrix}\]
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