삼각함수의 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리

$$\sin{(\alpha\pm \beta)}=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta$$
$$\cos{(\alpha\pm \beta)}=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta$$
$$\tan{(\alpha\pm \beta)}={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta}$$

사인함수의 덧셈정리 증명

$$OP=1$$
$$OQ=\cos\beta$$
$$PQ=\sin\beta$$
$${QA\over OQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,QA=RB=\sin\alpha\cos\beta$$
$${PR\over PQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,PR=\cos\alpha\sin\beta$$
$$\begin{split} \therefore\,\sin{(\alpha\pm \beta)}&=RB\pm PR\\ &=\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta \end{split}$$

코사인함수의 덧셈정리 증명

$$OP=1$$
$$OQ=\cos\beta$$
$$PQ=\sin\beta$$
$${OA\over OQ}=\cos\alpha,\quad\therefore\,OA=\cos\alpha\cos\beta$$
$${RQ\over PQ}=\sin\alpha,\quad\therefore\,RQ=\sin\alpha\sin\beta=BA$$
$$\begin{split} \therefore\,\cos{(\alpha\pm \beta)}&=OA\mp BA\\ &=\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta \end{split}$$

탄젠트함수의 덧셈정리 증명

$$\begin{split} \tan{(\alpha\pm \beta)}&={\sin\alpha\pm\sin\beta\over\cos\alpha\pm\cos\beta}\\ &={\sin\alpha\cos\beta\pm \cos\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta\mp \sin\alpha\sin\beta}\\ &={{\sin\alpha\over\cos\alpha}\pm {\sin\beta\over\cos\beta}\over 1\mp {\sin\alpha\sin\beta\over\cos\alpha\cos\beta}}\\ &={\tan\alpha\pm \tan\beta\over 1\mp \tan\alpha\tan\beta} \end{split}$$

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