행렬과 그 연산

행렬의 정의

행렬은 수 또는 문자를 직사각형으로 배열한 것을 말한다. 여기서 행렬을 이루는 각각의 수 또는 문자를 그 행렬의 성분이라고 한다.

행렬의 예

$$A= \begin{bmatrix} 2 & 16 & -5 \\ -3 & 9 & 24 \end{bmatrix}$$

괄호를 이용하기도 한다.
$$A= \begin{pmatrix} 2 & 16 & -5 \\ -3 & 9 & 24 \end{pmatrix}$$

행렬에서 성분을 가로로 배열한 줄을 행이라 하고, 세로로 배열한 줄을 열이라 한다. $m$개의 행과 $n$개의 열로 이루어진 행렬을 $m\text{-by-}n$ 행렬 또는 $m \times n$ 행렬이라고 한다. 또한, $n \times n$ 행렬은 $n$차 정사각행렬이라고 한다. 위 행렬은 $2 \times 3$ 행렬이다.

행렬의 제 $i$행과 제 $j$열이 만나는 위치에 있는 성분을 행렬 $A$의 $(i, j)$ 성분이라 하고, 기호로 $a_{i,j}$로 나타낸다.

행렬의 덧셈

두 행렬 $A$, $B$에 대하여 두 행렬이 같은 크기의 행렬일 때, 행렬 $A$의 $(i, j)$ 성분과 행렬 $B$의 $(i, j)$ 성분을 더한 것이 행렬의 덧셈이고, $A+B$와 같이 나타낸다.

행렬의 덧셈의 예

$$\begin{align} A+B&=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ -3 & 7 & 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 9 & 6 & -3\\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2+9 & 0+6 & 0+(-3)\\ (-3)+5 & 7+0 & 0+0 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 11 & 6 & -3\\ 2 & 7 & 0 \end{pmatrix} \end{align}$$

행렬의 실수배

행렬 $A$의 모든 성분에 실수 $k$를 곱한 행렬을 $kA$라고 한다.
$$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}$$
행렬 $A$의 성분이 위와 같을 때, 행렬 $A$의 $k$배는 아래와 같다.
$$kA=k\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2}\\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} ka_{1,1} & ka_{1,2}\\ ka_{2,1} & ka_{2,2} \end{pmatrix}$$

행렬의 실수배의 예

$$\begin{align} 2*\begin{pmatrix} 1 & 0 & 7\\ 3 & -2 & 4 \end{pmatrix} &=\begin{pmatrix} 2*1 & 2*0 & 2*7\\ 2*3 & 2*(-2) & 2*4 \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 14\\ 6 & -4 & 8 \end{pmatrix} \end{align}$$

행렬의 곱셈

두 행렬 $A$, $B$에 대하여 행렬 $A$의 열의 개수와 행렬 $B$의 행의 개수가 같을 때, 행렬 $A$의 제 $i$행의 각 성분과 행렬 $B$의 제 $j$열의 각 성분을 그 순서대로 곱하여 더한것을 두 행렬 $A$, $B$의 곱이라 하고, $AB$와 같이 나타낸다.

행렬의 곱셈에서 교환법칙이 성립하지 않는다.
$AB\neq BA$

행렬의 곱셈의 예

$$\begin{pmatrix} \underline{7} & \underline{6} & \underline{2}\\ 3 & 5 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & \underline{0}\\ 3 & \underline{-2}\\ 5 & \underline{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 35 & \underline{-6}\\ 18 & -10 \end{pmatrix}$$
위 밑줄의 $-6$은 아래와 같이 계산된다.
$$(7*0)+\{6*(-2)\}+(2*3)=(-6)$$

단위행렬

주 대각선의 성분이 모두 1이고 나머지 성분은 0인 $n$차 정사각행렬을 단위행렬 $I$라  하고, $I_n$이라 쓴다. 문맥상 단위행렬의 크기를 유추할 수 있는 경우 단위행렬의 크기를 생략하여 $I$로 쓰기도 한다. 또한, 단위행렬을 $E$로 사용하기도 한다.
$$I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

영행렬

행렬의 모든 성분이 0인 행렬을 영행렬이라 하고, 일반적으로 영행렬을 $O$로 나타낸다.
$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$

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