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코사인 법칙과 사인 법칙


각 A, B, C 각각의 대변을 a, b, c라고 할때, 다음이 성립합니다.

제일 코사인 법칙

세 변의 길이에 대하여 다음이 성립한다.
\[a=b\cos{C}+c\cos{B}\]
\[b=c\cos{A}+a\cos{C}\]
\[c=a\cos{B}+b\cos{A}\]

제이 코사인 법칙

세 변의 길이에 대하여 다음이 성립한다.
\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\]
\[b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\]
\[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\]

제이 코사인 법칙의 변형

세 각의 크기에 대하여 다음이 성립한다.
\[\cos{A}={b^2+c^2-a^2\over 2bc}\]
\[\cos{B}={a^2+c^2-b^2\over 2ac}\]
\[\cos{C}={a^2+b^2-c^2\over 2ab}\]

사인 법칙

삼각형의 외접원에 대하여 다음이 성립한다. (단, \(R\)은 원의 반지름)
\[{a\over \sin{A}}={b\over \sin{B}}={c\over \sin{C}}=2R\]
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10 개의 댓글:

  1. 저기 죄송한데 제일코사인 법칙에 2a=~ 아닌가요?

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    답글
    1. 올려드린 제일코사인법칙이 맞는 내용입니다.

      간단하게 예를 들어 직각삼각형일 때, 피타고라스의 정리에 의해 다음이 성립하고 빗변의 길이를 a, 나머지 두 길이를 각각 b=1, c=1로 놓으면 아래와 같은 값을 얻을 수 있습니다.
      \[{ a }^{ 2 }={ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }\]
      \[{ a }^{ 2 }={ 1 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }\]
      \[\therefore a=\sqrt { 2 }\]

      위에서 말한 직각삼각형을 제일코사인법칙을 이용해 a의 길이를 알아본다면 b=1, c=1 라고 놓았을때 아래와 같은 값을 얻어 피타고라스의 정리와 같은 결과임을 알 수 있습니다.
      \[a=b\cos\gamma+c\cos\beta\]
      \[a=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }+\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } \quad (\because \cos { 45 }^{ \circ }=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 } )\]
      \[\therefore a=\sqrt { 2 }\]

      그러나 제일코사인법칙이 말씀하신 내용일 경우, 아래와 같은 결과가 나와 피타고라스의 정리와 다른 결과를 얻게 됩니다.
      \[2a=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }+\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }\]
      \[\therefore a=\frac { \sqrt { 2 } }{ 2 }\]

      여러가지로 설명할 수 있겠지만, 피타고라스의 정리를 이용해 설명해 드렸습니다. 이해가 되셨으면 좋겠습니다. :)

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  2. 좋은정보 감사합니다

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  3. 고3올라가서 저와같이 다시 총정리하는 학생들에게 정말도움되는글이네요.ㅎ
    베이직증명그림까지 감사합니다.

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  4. 네 종나 감사합니다

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  5. 제 2 cos 법칙 잘 보았습니다^^

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